月草色の幻影 Official Site

皆さん今日は、Alhenaです。

油断していると直ぐに間が空いてしまっていけませんね。
来年はもう少し発信するに値するネタを探す乃至作るようにしましょう。
書くことさえあればまめに書くようにもなる……と願いたいです。


本日は某掲示板で見つけた問題についてです。


問
5人の人が東西のどちらかを向いて東西方向に一直線に並んでいる。
彼らは整数で番号付けされたある組にそれぞれ所属しているが、自分が何組であるかは知らず、代わりに自分の前に居る人全員についてそれぞれ何組に属しているかと、自分の後ろも含む全員がどちらを向いているかを知っている。
また、5人の組番号が連続した整数であることは知っているが、その最大値や最小値、組の総数については知らない。

彼らは、自分の組番号が分かったら翌日から並ぶことを免除されるが、分からなければ翌日も同じように並ばなければならない。
また彼らにはその日誰が来ているかを知ることは出来るが、それ以上の情報を互いに交換したり外部から与えられたりすることは無い。
この条件で始めた所、二日目以降毎日一人ずつ来なくなり、六日目には誰も来なくなった。
彼らはそれぞれ何組で、どちらを向いていたのだろうか。


原文では、学校の組で何組まであるか分からないという設定で、0以下の組が存在するのか、1組からの連番なのかなど曖昧な部分が多かったのですが、実は整数全体に拡張した方が、即ち条件を一つ与えられない方が簡単に解けると言う面白い性質を持っています。
また解の唯一性の証明も出来たので、(原文の条件でも出来るのかもしれませんが)組合せの総当たりという論理性の無い部分を減らす為に、私は上記のように問を一部修正しました。

本題は此処からです。
この問題の答えは、答えを与えられればそれが答えであることは当然分かるのですが、与えられてからそれが条件を満たしていることを認識するまでの道筋が少々つまらないものになっています。
詰まり、偶然思いついた並び方が、深く考えずとも答えになっていることが分かってしまう可能性が高いのです。

そこで、私は更に次のような修正を加えてみました。


修正前：
この条件で始めた所、二日目以降毎日一人ずつ来なくなり、六日目には誰も来なくなった。
彼らはそれぞれ何組で、どちらを向いていたのだろうか。

修正後：
この条件で始めた所、二日目以降毎日一人ずつ来なくなり、六日目には誰も来なくなった。
この後、新たに5人を連れてきて同様の条件で始めた所、二日目以降五日目までは毎日一人ずつ来なくなったが、六日目以降も一人だけ残り続けた。
見かねた監視人は、彼に彼の組は偶数であることを告げると、彼も翌日から来なくなった。
彼は去り際に、"もし私が奇数だったら明日も来る必要があった。"と言った。
新たに来た5人はそれぞれ何組で、どちらを向いていたのだろうか。
但し、この5人の向きは先の5人と同様だったものとする。


問題が増えただけじゃないかと思うかもしれませんが、違います。
先に来た5人については、彼らの組番号まで求める必要はありません。
また、それが一つのヒントになっています。
文にすると長いですが、問題設定自体はそれほど難解ではないと思いますので、少し空いた時間にでも是非考えてみて下さい。

なお、若しかしたら最後の文は要らない(先の5人は不要)可能性も有りますが、まだ検証しきれていないので保留にさせて下さい。
判明次第、更新したいと思います。